Jednou ze základních otázek problematiky interpolace je, jak zvolit uzly (body ve kterých se interpoluje) tak, aby interpolační polynom aproximoval zadanou funkci co nejlépe.
Toho lze dosáhnout tak, že za uzly zvolíme kořeny Čebyševových polynomů. Tyto polynomy se definují takto:
kde m je přirozené číslo větší než 1. Ihned z (1) vyplývá, že T0(x)=1, T1(x)=x. Pro konstrukci dalších Čebyševových polynomů se využívá rekurentní formule:
Z rekurentní formule snadno získáme libovolné další Čebyševovy polynomy:
Nás zajímají kořeny těchto polynomů. Jsou všechny reálné, různé a leží uvnitř intervalu (-1,1), neboť pro ně platí ( snadno odvoditelné z (1) ):
kde k=0,1,...,m-1. Pokud chceme aproximovat funkci na intervalu (a,b) interpolačním polynomem s co nejmenší chybou, zvolíme za uzly zk body, které vzniknou ze vzorce (3) následující úpravou:
PříkladUvažujme funkci f(x)=sin(x) na intervalu (0,pi). Pak pro kvadratickou aproximaci platí: uzly podle (3) a (4) jsou 0,2104 , 1,5708 a 2,9311. A funkční hodnoty jsou 0,2089 , 1 a 0,2089. Pro tyto hodnoty vytvoříme Newtonův interpolační polynom, který vyjde:
Na obrázku je grafické znázornění tohoto interpolačního polynomu.
Na obrázku je grafické znázornění tohoto interpolačního polynomu.
1 komentář:
V rovnici c. 3 (koren C. polynomu) ma byt cos(((2k+1)/2m)pi), jestlize k odpovida <0,1,...,m-1> nikoliv s minusem.
p.
Okomentovat