neděle, února 17, 2008

Nekonečná řada a její součet

V minulém příspěvku jsme viděli, jak moderní matematika dokázala vyřešit starý antický problém. Uvedenou metodu nelze bohužel použít pro všechny nekonečné řady.

Uvažujme například nekonečnou řadu

Tahle řada má několik rychlých způsobů "výpočtu". Lze se na ní dívat jako na nekonečný součet dvojic (1-1) nebo nekonečný součet jedničky a nekonečně mnoho dvojic (-1+1). Pak tedy v prvním případě by byl součet roven nule a v druhém případě roven jedné.

Nabízí se i další varianta výpočtu, pod původní řadu si napíšeme tu stejnou řadu, kterou vynásobíme číslem -1:
Pokud nyní odečteme druhou řadu od první získáme tak rovnost 2S=1. Celkem jsme tedy získali tři možné varianty součtu nekonečné řady: 0,1 a 1/2.
Která je varianta je ale správná? Odpověď je žádná. Neboť tato řada patří mezi takzvané alternující (oscilující) řady, u kterých nelze najít jednoznačný součet.

Podívejme se nyní blíže na základní pojmy v teorii nekonečných řad. Nekonečná řada

se na nazývá konvergentní, jestliže posloupnost částečných součtů s1=a1, s2=a1+a2, s3=a1+a2+a3, ... sn=a1+a2+a3+...+an,... má vlastní limitu. Což zjednodušeně znamená, že pokud bychom zkoušeli počítat součet řady s postupně narůstajícím počtem sčítanců, pak bychom se postupně dostávali k čím dál přesnějšímu výsledku. Řady, které nejsou konvergentní se nazývají divergentní, mezi ně patří i řady oscilující.

V minulém příspěvku jsme viděli příklad nekonečné řady, která se vyskytuje v aporii Achilles a želva. Tato řada patří do důležité skupiny geometrických řad, které lze obecně vyjádřit jako:

Zabývejme se nyní otázkou konvergence řady. Výraz q (kvocient) zde má roli parametru. Určíme nejprve n-tý člen posloupnosti částečných součtů a pak provedeme limitní přechod.
  1. Nechť q=1. Pak s1=a, s2=a+a=2a, ... sn=na. Provedeme limitní přechod ("pustíme n do nekonečna") s = lim sn = lim na = ±∞. Řada je v tomto případě divergentní, a tedy součet neexistuje.
  2. Nechť q=-1. Pak s1=a, s2=a-a=0, s3=a-a+a=a ... Tedy sn=0 (pro n sudé) nebo sn=a (pro n liché). Posloupnost částečných součtů má tedy tvar 0,a,0,a,0,...., nemá limitu, a nekonečná řada tedy osciluje.
  3. Nechť q ≠1, q ≠ -1. V tomto případě platí sn=a+aq+...+aqn-1 . Nyní použijeme vzorec pro součet prvních n členů geometrické posloupnosti:

    Nyní musíme opět rozlišit případy, kdy:
    • q ∈ (-1;1). Spočteme limitu limn→∞ sn :

      Tento případ je nejzajímavější, geometrická řada je konvergentní a má tedy součet, který je dán výše uvedeným vzorečkem .
    • V ostatních případech (q>1 nebo q <-1) použitím výše uvedeného vzorce zjistíme, že limita sn není rovna konečnému číslu
Proto, v případě, kdy |q|<1 platí pro součet nekonečné geometrické řady vzorec


Tento vzoreček lze snadno aplikovat v případech, kdy chceme vyjádřit pomocí zlomku číslo s nekonečným desetinným rozvojem.

Příklad: Vyjádřeme pomocí zlomku číslo 0,02222222222222222222.
Platí: 0,02222222222222222222=0,02+0,002+0,0002+..... Sčítance tvoří geometrickou posloupnost s prvním členem a=0,02 a kvocientem q=1/10. Platí tedy, že |q|<1. A proto

Tedy 0,022222222222222222222222222222222222=1/45.

Linkuj! Přidej do záložek na Jagg! pošli na vybrali.sme.sk Návštěvní kniha

neděle, února 03, 2008

Stále tajemná černá smrt

Pravděpodobně největší následky pro lidskou společnost měla epidemie moru - černé smrti, která propukla v Evropě v roce 1347. Tato epidemie nabyla mimořádných rozměrů -vyžádala si 25 nebo až 75 miliónů obětí (odhady se různí), což odpovídalo jedné či až dvěma třetinám tehdejší evropské populace!

Černá smrt se poprvé objevila na začátku 14. stol. v dnešním východním Kazachstánu, odtud se přeš Čínu obchodními styky a vojenskými taženími Mongolů dostal až do Evropy. V roce 1347 se mor rychle rozšířil do Konstantinopoli, na Krétu, do Řecka a na Sicílii. Během pár let se epidemie vyjma některých území (Polsko, západní Belgie) dostala do celé Evropy (Čechy 1349).

Obecně uznávaným faktem je, že hlavním zdrojem morové nákazy jsou krysy, vlastní přenos infekce pak zprostředkovávají blechy (Blecha morová - Xenopsylla cheopis a Blecha obecná - Pullex irritans), v jejichž trávicím žije bakterie Yersinia pestis. Mor se vyskytuje (ročně se objeví několik nakažených jedinců, hlavně v jihovýchodní Asii, proto přítomný čas) ve třech formách: dýmějový, plicní a septikémický.

Dýmějový mor se vyznačuje bolavými otoky na mízních uzlinách. Septikémický, resp. plicní mor, je forma nemoci, kdy se bakteriální nákaza dostala ve velkém množství do krve, rep. do plic. Klasickým znakem dýmějového moru bylo, že se v tříslech a podpaží objevil zánět mízních uzlin, ze kterých vytékal hnis a krev. Následkem bylo poškození kůže doprovázené tmavými skvrnami. Tento symptom, zvaný acral necrosis, vedl k tomu, že se nemoci začalo říkat “černý” mor. Mezi další projevy nemoci patřila i horečka 38-41°C. Dýmějový měl míru úmrtnosti 30 - 75 %. Většina obětí zemřela během čtyř až sedmi dnů po nákaze. Septikémický mor byl nejvzácnější ze všech třech variant, ale zato dosahoval téměř stoprocentní úmrtnosti.

Dýmějový a septikémický mor se na člověka přenáší přímým kontaktem s blechami. Baktérie se množí uvnitř blechy, blokují jí žaludek a v důsledku toho se stane velmi hladovou. Blecha pak nenasytně štípe hostitele a neustále mu saje krev, protože není schopná utišit svůj hlad. Během sání proudí do rány nakažená krev obsahující morové baktérie. Morové baktérie pak mají nového hostitele a blecha nakonec zemře hlady.

Plicní mor se šíří přímo z člověka na člověka pomocí kapének, které vykašlávají osoby s nákazou krevního řečiště (sepsis) nebo zápalem plic, který mohl začít jako dýmějová forma nemoci. Baktérie poletující vzduchem může vdechnout poblíž se nacházející osoba s malou odolností vůči infekcím a nová nákaza se rozvine přímo v dýchací cestách osoby a vyhne se tak dýmějové formě nemoci. Plicní mor byl druhou nejběžnější formou moru s mírou úmrtnosti 90-95 %. K hlavním symptomům patřil krvavý hlen uvolňovaný z horních dýchacích cest.

Morová epidemie ze čtrnáctého století se šířila neuvěřitelně rychle. Objevily se proto pochybnosti, zda-li původcem moru byla skutečně bakterie Yersinia pestis.V roce 2000 Gunnar Karlsson poukázal na to, že černá smrt zabila 50 až 70 % obyvatelstva Islandu, ačkoli na Islandu se v té době nevyskytovaly žádné krysy. Krysy se tam až v 19. století. Island zůstal nedotčen pozdějšími epidemiemi, o kterých se ví, že je šířily krysy.

V roce 1984 Graham Twigg v článku The Black Death: A Biological Reappraisal dokázal, že kvůli klimatickým a ekologickým podmínka v Evropě bylo téměř nemožné, aby krysy a blechy přenášely dýmějový mor. Na základě svých argumentů předložil alternativní hypotézu, že černá smrt mohla být ve skutečnosti epidemií plicního antraxu, kterou vyvolala bakterie Bacillus anthracis.

V roce 2001 epidemiologové z Liverpoolské univerzity navrhli teorii, že černou smrt mohl vyvolat virus podobný Ebole! Argumentovali tím, že tato epidemie se šířila mnohem rychleji a inkubační doba byla mnohem delší než u jiných epidemií moru. Rozbory anglických církevních záznamů ukazují nezvykle dlouhou inkubační dobu přes třicet dnů, která mohla odpovídat za rychlé šíření, dosahující až 5 km/den. Epidemiologické studie upozorňují na to, že nemoc byla přenášena přímo mezi lidmi, což se prakticky neděje u dýmějového moru a Antraxu. Navíc bylo zjištěno, že Evropané mají některé geny, které zajišťují větší odolnost proti virům podobným Ebole než mají lidé v jiných částech světa. Je možné, že za vznikem této genetické výhody může právě evolučně selekční tlak v době epidemie černé smrti.


Jisté je, že další velké epidemie moru (Londýnský mor 1665-1666, Italský 1629-1631, Vídeňský 1679 a poslední evropský 1720-1721) byly způsobeny bakterií Yersenia pestis, ale velká epidemie černé smrti ze čtrnáctého století zůstává stále zahalena nejasnostmi.

Zdroje a další informace



Linkuj! Přidej do záložek na Jagg! pošli na vybrali.sme.sk Návštěvní kniha

 

blogger templates | Make Money Online